Risoluzione del Cubo Elettronico e Quesito dell'Icosaedro e la Mosca 41^ Puntata

DEDICATA ANCORA AI SOLIDI PLATONICI QUESTA PUNTATA DI CURIOSITA’ E GIOCHI MATEMATICI. DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA  DEL CUBO ELETTRICO TENENDO CONTO DELLE  PROPRIETA’ GEOMETRICHE DI QUESTO SOLIDO E AL CURIOSO QUESITO DELLA MOSCA E  L’ICOSAEDRO.

1) Soluzione al quesito apparso nella puntata n° 40 riguardo a l'indovinello sulla rete elettrica tracciata sugli spigoli di un cubo (fig. 1, nel post precedente). Si trattava di determinare  la resistenza dell'intera struttura quando la corrente la percorreva  secondo  la direzione indicata A-B. La resistenza totale della rete elettrica cubica è di 5/6 di ohm. Se si mettono in cortocircuito comune(*) i tre vertici più vicini ad A e lo stesso si fa con quelli prossimi a B, nei due triangoli costituenti il cortocircuito non scorrerà corrente perché essi collegano punti equipotenziali.  È facile ora vedere che vi sono tre resistenze da un ohm in parallelo fra A ed il triangolo vicino (resistenza 1/3 ohm), sei in parallelo fra i due triangoli (1/6 di ohm) e tre in parallelo fra il secondo triangolo e B (1/3 di ohm), con una resistenza totale di 5/6. Il problema ed il metodo risolutivo possono essere estesi a reti aventi la forma degli altri quattro solidi platonici. La soluzione del problema risale già al 1920, contenuta nel volume Magnetism and Electricity di E. E. Brooks e A. W. Poyser.

(*)Due punti di un circuito sono collegati in corto circuito quando hanno resistenza nulla, nulla tensione e la corrente che li percorre ha valore elevato.

fig.1 - Proiezione piana dell'icosaedro

2) Nuovo quesito sulla mosca che passeggia sugli spigoli sull’icosaedro. Abbiamo già parlato dell’icosaedro nelle puntate precedenti , precisando che è un solido platonico,  che le sue facce sono rappresentate da triangoli  equilateri e che contiene 12 spigoli. Se una mosca dovesse percorrere  questi  12 spigoli, passando una sola volta per ogni spigolo, qual' è la più breve distanza che essa potrebbe percorrere?  Non è necessario che la mosca ritorni al punto di partenza, nel qual caso dovrebbe necessariamente passare due volte per qualche spigolo. (Solo gli spigoli dell'ottaedro possono essere percorsi senza ripassarvi). Una proiezione piana di questo solido (fig. 1) può essere usata per risolvere il problema, ma bisogna ricordare che ogni spigolo ha una lunghezza unitaria. (La soluzione verrà data la puntata prossima)

Mr.Hyde

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Indovinello Cubo lettura del Pensiero Ancora sui Solidi Platonici 40^ puntata

UN INDOVINELLO DI NATURA ELETTRICA; FAR PASSARE UN CUBO ATTRAVERSO UN FORO SU UN CUBO PIU' PICCOLO; LETTURA DEL PENSIERO CON L'OTTAEDRO.

1) L'indovinello elettrico riguarda la rete tracciata in fig.1. Se ogni spigolo del cubo ha una resistenza di un ohm, qual'è la resistenza dell'intera struttura quando la corrente scorre da A a B? Si sa che gli ingegneri elettrotecnici possono scrivere pagine intere di calcoli su questo problema, che tuttavia può esser facilmente risolto con opportune considerazioni intuitive. La soluzione di questo quesito verrà data la prossima puntata.

fig.1 - Rete elettrica sul cubo

2) Per fare passare un un cubo attraverso un cubo più piccolo: Tenendo in mano un cubo in modo che un vertice punti direttamente verso di voi, gli spigoli che appaiono all'esterno delineano la forma di un esagono e potete vedere che vi è spazio sufficiente per praticarvi un foro quadrato leggermente maggiore della faccia dello stesso cubo.

3)  Giochetto di “lettura del pensiero” con l'ottaedro.Tutti i cinque solidi platonici sono stati usati come dadi da gioco. Dopo il cubo, sembra che l'ottaedro sia stato il più diffuso. Lo schema tracciato in fig.2, con le facce numerate nell'ordine indicato, si ripiega esattamente in un ottaedro incollando gli spigoli aperti con nastro adesivo trasparente. La somma delle cifre segnate sulle facce opposte di questo solido, come nel familiare dado cubico, ha sempre come risultato un totale di sette. Inoltre, disponendo le cifre nel modo indicato si può effettuare questo grazioso giochetto di “lettura del pensiero”.

fig.2 - Striscia per la costruzione del dado ottaedrico

Chiedete a qualcuno di pensare un numero fra 0 e 7 (inclusi). Poi, tenendo l'ottaedro in modo che egli veda solo le facce con 1, 3, 5, 7, chiedetegli se vede il numero scelto. Se dice  “sì”  la risposta ha valore 1. Girate il solido in modo che risultino visibili le facce con 2, 3, 6, 7 e rifate la domanda. Questa volta al « sì, » date valore 2. La terza domanda fatela con il solido girato in modo da far vedere le cifre 4, 5, 6, 7.La risposta « sì » ha valore. 4. Facendo il totale dei valori delle tre risposte otterrete il numero scelto. Fatto facilmente spiegabile se avete una certa familiarità con il sistema numerico binario. Per trovare facilmente le tre posizioni in cui dovete mettere il solido, potete semplicemente marcare in qualche modo i tre vertici che devono risultare puntati verso di voi quando siete di fronte allo spettatore.Vi sono altri modi interessanti di numerare le facce  di un dado ottaedrico. È possibile, ad esempio, sistemare le cifre da 1 ad 8 in modo che il totale delle quattro facce attorno a ciascun vertice di un risultato costante che deve essere 18. Ma sono tre i modi distinti (senza contare rotazioni e riflessioni) di disporre i numeri per ottenere questo risultato.

Mr. Hyde

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I 5 Solidi di Platone il Loro Fascino e Curiosita' 39^ PUNTATA

I 5 SOLIDI PLATONICI - IL LORO FASCINO ED ALCUNE CURIOSITA' - 1 PARTE

Lewis Carroll, ebbe a dire che queste figure geometriche sono “un numero piccolo in modo provocante”. Si tratta di solidi le cui facce sono costituite da poligoni regolari con facce congruenti ed angoli interni , sui vertici, congruenti.( Si ricorda che in geometria due figure si dicono congruenti quando hanno la stessa forma e dimensioni).

Vi sono solo cinque solidi convessi regolari: il tetraedro regolare, l'esaedro (cubo), l'ottaedro, il dodecaedro, e l'icosaedro (fig. 1.) Il primo studio sistematico dei cinque solidi regolari sembra sia stato fatto dagli antichi Pitagorici. Essi mettevano in relazione tetraedro, cubo, ottaedro e icosaedro con i quattro elementi: fuoco, terra, aria ed acqua. Il dodecaedro era identificato con l'intero universo.

Queste figure geometriche vennero denominate “Solidi Platonici” perché queste nozioni furono elaborate nel Timeo di Platone. La bellezza e le affascinanti proprietà matematiche di queste cinque forme hanno assillato gli studiosi dai tempi di Platone sino a tutto il Rinascimento. L'analisi dei solidi platonici occupa il libro finale che costituisce il vertice degli Elementi di Euclide.  

Fig 2: costruzione del tetredro

fig 1: I 5 Solidi Platonici

Keplero credette per tutta la sua vita che le orbite dei sei pianeti noti ai suoi giorni potessero essere ottenuti inserendo i cinque solidi in un dato ordine all'interno dell'orbita di Saturno. Ai tempi d’oggi i matematici non guardano più ai solidi platonici con mistica riverenza, ma le loro rotazioni sono studiate in connessione con la teoria dei gruppi ed essi continuano ad esercitare un ruolo pittoresco nella matematica ricreativa. Nel corso di questa e delle prossime puntate descriveremo alcune peculiarità di questo tipo di solidi e sveleremo qualche piccola curiosità e qualche gioco che li riguarda.

Vedremo nel corso di questa puntata come costruire il più semplice di loro: il tetraedro partendo da una busta chiusa tagliata e ripiegata in quattro modi differenti. Disegnate un triangolo equilatero sulle due facce ad un'estremità di una busta (fig. 2).

Quindi tagliate contemporaneamente entrambi gli strati di carta che formano la busta lungo la linea tratteggiata mettendo da parte il pezzo di destra. Piegate il pezzo rimanente lungo i lati dei triangoli disegnati (all'indietro i due lati segnati sulla faccia anteriore della busta e in avanti quelli segnati sulla faccia posteriore) in modo da far combaciare il punto A con il punto B; otterrete così un tetraedro.

Mr. Hyde

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CURIOSI GIOCHI ED INDOVINELLI 38^ PUNTATA

IL QUADRATO MAGICO, IL LO-SHI, E LA "MELANCONIA DI ALBRECHT DURER

prima parte

Il tradizionale quadrato magico è un insieme di interi, presi in ordine di successione, a cominciare da 1, sistemati secondo uno schema quadrato in modo che il totale di ogni riga, colonna e diagonale principale sia lo stesso.. L’argomento nei tempi passati ha destato particolare attenzione, prova ne sia che nel 1838, quando sui quadrati magici se ne sapeva molto meno che oggi, un lavoro francese sull'argomento occupava tre volumi. Vi si sono dedicati,con la stessa passione di un culto, dai tempi antichi sino ad oggi eminenti matematici come Arthur Cayley ed Oswald Veblen ed uomini comuni come Benjamin Franklin.Dal punto di vista strettamente matematico si tratta dunque di una matrice quadrata di ordine n.

fig a - Albrecht Dürer « La melanconia»

L' "ordine" di un quadrato magico è il numero di celle su uno dei suoi lati. Non vi sono quadrati magici di ordine due, e solo uno (non contando le rotazioni e riflessioni) di ordine tre. Un facile modo per ricordare questo quadrato è il seguente: scrivere prima le cifre in ordine come mostrato a sinistra in fig. b, poi spostare ogni cifra d'angolo alla parte opposta rispetto alla cifra centrale come indicato dalle frecce. Il risultato è il quadrato magico a destra, che ha una costante di 15. (La costante è sempre la metà della somma n3+n, dove n è l'ordine). In Cina, dove è chiamato lo-shu, questo quadrato ha una lunga storia come amuleto. Oggi si trova ancora in amuleti indossati nel lontano Oriente e in India e in molte grandi navi passeggeri fa da scacchiera per giochi sui ponte.

I quadrati magici crescono rapidamente in complessità quando passiamo al quarto ordine. Vi sono esattamente 880 tipi differenti, sempre trascurando le rotazioni e le immagini speculari, molti dei quali sono assai più magici di quanto sia richiesto dalla definizione di quadrato magico. Una specie interessante, nota come quadrato simmetrico, appare nella famosa incisione di Albrecht Dürer « La melanconia» (fig. a con evidenziato in rosso il quadrato magico).  

Costruzione del lo- shu

La maggior parte dei critici sono d'accordo sul fatto che rappresenti lo stato d'animo depresso del pensatore incapace di passare all'azione. Nel Rinascimento il temperamento malinconico era ritenuto una caratteristica del genio creativo; era la malattia degli studiosi ”che una pallida maschera di pensiero fa sembrare ammalati”. Vedremo di individuare  nella prossima puntata la simbologia del quadro di Dürer e le caratteristiche del quadrato magico in esso rappresentato.

[Continua la prossima puntata]

Mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI 37^ PUNTATA

LE COMPOSIZIONI DI ESCHER ISPIRATE AI GRUPPI DI SIMMETRIA 2^  E ULTIMA PARTE

I disegni di Escher di questo tipo sono basasti sul principio studiato dal matematico S.M.Coxeter che riguarda l'arte di riempire un piano con uno schema ripetuto. Tutti i mosaici, che coprono il piano con schemi ripetuti, appartengono ad un gruppo di diciassette differenti gruppi di simmetria che esauriscono tutti i modi fondamentalmente diversi in cui gli schemi possono esser ripetuti all'infinito in due dimensioni. Gli elementi di questi gruppi sono semplicemente operazioni eseguite su uno schema fondamentale: scorrimento sul piano, rotazione o inversione speculare. Mentre Coxter studia le possibilità di copertura usando delle forme geometriche, in paticolare poligoni regolari, trovando poi della applicazioni in cristallografia, Escher usa delle figure irregolari.

Fig.a  -  Composizione di Escher

A questo punto le limitazioni imposte dalla geometria vengono meno a favore di una maggiore possibilità di combinazioni, trattandosi di schemi del tipo astratto. Coxeter elogia le ingegnose maniere con cui l'artista danese Maurits C. Escher, ha applicato molti dei diciassette gruppi di simmetria a mosaici in cui sono usate per le zone fondamentali delle forme animali. Uno degli stupefacenti di questi mosaici di riprodotto nel libro di Coxeter, è il cavaliere a cavallo mostrato nella puntata scorsa altro è riprodotto nella figura a.  A primo sguardo, fa rilevare Coxeter, il motivo del cavaliere appare essere il risultato di una traslazione della forma base lungo gli assi orizzontali e verticali; ma ad un esame più accurato si vede che la forma base fa anche da sfondo. In effetti, il più interessante gruppo di simmetria per questo schema è generato da quella che viene detta riflessione con scorrimento: ossia uno scorrimento della forma con un'inversione speculare. A rigore, questo non sarebbe un mosaico perché la regione fondamentale non è un poligono. Lo schema appartiene ad una curiosa classe di mosaici in cui delle forme irregolari, tutte esattamente eguali, si connettono assieme coprendo il piano come pezzi di un gioco a incastro. Forme astratte di questo tipo non sono difficili da ideare, ma quando debbono rassomigliare a oggetti naturali, non è tanto facile ottenerle.

Otto mosaici semiregolari

Un piacevole passatempo è ritagliare un gran numero di poligoni di cartone delle dimensioni e forme richieste, dipingerli di vari colori e sistemarli in questi tipi di mosaici. Se si toglie la limitazione circa i vertici, gli stessi poligoni formeranno un'infinita varietà di mosaici. (Alcuni rilevanti esempi di questi mosaici non regolari ma simmetrici sono riprodotti in Mathematical Snapshots di Hugo Steinhaus, ristampato dalla Oxford University Press.

Mr. Hyde

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GIOCHI CURIOSI E INDOVINELLI 36^ PUNTATA

SPIEGAZIONE DEL SISTEMA PER VALUTARE LE ALTEZZE SENZA MISURARLE DIRETTAMENTE E LE COMPOSIZIONI DI ESCHER ISPIRATE AI GRUPPI DI SIMMETRIA.

1) Il sistema per determinare le altezze senza rilevarle direttamente sugli oggetti.

Supponiamo che tu voglia scommettere con i tuoi amici che sarai in grado di misurare qualsiasi oggetto (sia un palazzo, una statua, un menhir e via dicendo. L'unica condizione che porrai è che l’esperimento si svolga alla luce del sole.- Al contrario di certi maghi i quali vogliono sempre eseguire le loro esperienze al buio per potere comodamente imbrogliare il prossimo, io ho bisogno della luce del sole!-

E Supponiamo che  tuoi amici accetteranno la scommessa e ti condurranno, presso uno di quei pali che sostengono i fili del tram.

Tu guarderai in terra, farai alcuni passi, poi alcuni altri, mediterai un istante e, senza aver neppure sollevato lo sguardo per osservare il palo, dirai con la massima sicurezza: - Il palo è alto 12 metri!

I tuoi amici si guarderanno stupìti: crederanno che tu abbia gettato lì un numero a caso. Ma uno dei tuoi compagni affermerà che tu hai ragione; egli è figlio di un impiegato dell'Azienda Municipale Tramviaria, e ha udito dire dal padre che i pali sono proprio di 12 metri; perciò è stato lui a proporre di farti misurare il palo. Camminando ancora trovate un obelisco: questo non sarà tanto facile da misurare! Anche stavolta tu non hai bisogno di sollevare gli occhi per osservare l'altezza dell'obelisco: fai i tuoi passi con aria assorta e concludi con la medesima sicurezza: - L'obelisco è alto 24 metri, senza la base!-

Uno dei tuoi amici ha in tasca la guida della città: la consulta e riscontra che quell'obelisco è alto proprio 24 metri. Il metodo è semplicissimo: contando i passi ed impostare la proporzione: ombra uomo : altezza uomo = ombra oggetto: altezza oggetto. Ovviamente, poiché nelle varie ore della giornata l’ombra varia le sue dimensioni devi stare attento a misurare la tua prima qualche decina di minuta prima della scommessa e non un’ora prima, sennò le proporzioni sarebbero falsate!

Mosaico di Maurits Escher

2) Le composizioni di Escher ed i gruppi di simmetria.

Introdurremo oggi ed affronteremmo alla prossima puntata l’ergomento dei gruppi di simmetria partendo dalle composizioni di .

C'è una scuola di estetica che guarda a tutte le arti come se fossero una forma di gioco e, parimenti,una scuola di estetica  che guarda tutti i sistemi matematici come giochi senza significato giocati con simboli secondo regole concordate. Escher è un pittore che si diverte a giocare con le strutture matematiche:alcune sue composizioni si basano su degli schemi ripetuti nei quali una figura di partenza si ripete traslando, ruotando di un dato angolo, specchiandosi rispetto ad un suo asse. Vedremo a quali regole matematiche e geometriche si ispirano tali composizioni. (Continua la prossima puntata).

Mr.Hyde

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Giochi e curiosi indovinelli 35^ puntata

LA SOLUZIONE DEL CADI' RIGUARDO ALL'EREDITA' DEI 17 CAMMELLI  E LA PROPOSIZIONE DI UN NUOVO QUESITO

1) Spiegazione del quesito sull'eredità dei 17 cammelli proposto la scorsa puntata.

La soluzione del cammello in prestito, imposta dal cadì, pur avendo lasciato soddisfatti i tre fratelli in realtà non fu  aritmeticamente nè legalmente giusta e affatto rispettosa del testamento.    In realtà il problema di dividere un numero primo per altri divisori senza resto, vale solo se il divisore è lo stesso numero primo, e il magistrato non risolve questo problema ma lo aggira.

Infatti Mohamed avrebbe dovuto ricevere 1/2 di 17 cammelli, che vuol dire 8 cammelli e 1/2 e invece ne ebbe 9, ossia 1/2 cammelli in più; Alì avrebbe dovuto ricevere 1/3 di 17 cammelli,che fa 5 cammelli e 1/2,  invece ne ebbe 6, cioè 1/3 di cammello in più. Selìm avrebbe dovuto ricevere 1/9 di 17 cammelli, che vale 1 cammello e 8/9 e invece ne ricevette 2, ossia 1/9 di cammello in più. Così le parti dei 17 cammelli delle quali i tre fratelli si appropriarono secondo la sentenza del cadì, riunite insieme, fecero sparire quel cammello quasi intero che avrebbe dovuto rimanere dopo fatta la divisione.

Immagine by Hyde

Il cammello aggiunto - quello preso in prestito - non fu che un trucco per poter aumentare il dividendo, e quindi aumentare il quoziente. L'originale espediente di aggiungere un cammello e poi farlo restituire servì soltanto per mascherare questa alterazione dell' unità (l'eredità). Se il padre di Mohammed, Alì e Selìni avesse aggiunto al testamento una piccola clausola, con la  quale avesse deciso che, fatta la divisione, fra i tre figli, il resto dell'eredità sarebbe andata al cadì, sicuramente il furbo magistrato non avrebbe scelto l'originale espediente ed avrebbe sentenziato:

- Cari miei, il 17 è un "numero primo" e non c'è barba di cadì che possa riuscire a dividere 17 cammelli altrimenti che fra 17 persone. Perciò vendete i cammelli, dividete fra voi quello che vi spetta, e portatemi il resto, perchè un resto ci deve essere e non facciamo scherzi, perchè  con quello dovrete pagare il mio onorario!

                    

2) Un nuovo quesito:  E’ possibile poter conoscere l'altezza di un palo, di un monumento, di un palazzo, senza misurarli e senza nemmeno guardarli? La risposta è si, a condizione che questa valutazione venga fatta di giorno alla luce del sole.Vedremo come alla prossima puntata!
Mr.Hyde

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GIOCHI CURIOSI E INDOVINELLI 34^ PUNTATA

L'EREDITA' DEI 17 CAMMELLI E LA FURBA SOLUZIONE DEL CADI' AL PROBLEMA  DI DIVISIONE DEL NUMERO PRIMO SENZA RESTO.

Un arabo morì, e lasciò in eredità i suoi cammelli ai tre figlioli: Mohammed, Alì e Selim. Il testamento diceva che Mohammed, come primogenito, dovesse ricevere la metà dei cammelli, Alì 1/3 e Selim  1/9. Il testamento non avrebbe avuto nulla di straordinario, se i cammelli non fossero stati 17. La divisione non era dunque possibile, giacchè 17 è un “numero primo”, e perciò non è divisibile nè per 2, nè per 3, nè per 9, ne per qualsiasi altro numero che non sia 17 o l'unità. E, guarda un po'!Proprio 17 dovevano essere i cammelli! Non si può certo tagliare un cammello. Mohammed, Alì e Selim decisero di rivolgersi al cadì, una sorta di magistrato: costui avrebbe certamente. saputo trovare la soluzione giusta. (Il nome stesso cadì -in arabo qadi- viene dal verbo qaday, che vuoi dire  risolvere).

Illustrazione by Hyde

Il cadì meditò brevemente, fece un piccolo calcolo mentale lisciandosi la barba, e poi disse: - Fatevi prestare un cammello, e tutto sarà accomodato. Eseguirete la spartizione dei cammelli, e poi restituirete il cammello.

- Ma chi di noi tre - chiesero i fratelli - dovrà restituire il cammello?

- Nessuno di voi tre dovrà restituire il cammello: ma il cammello sarà restituito-.

Mohammed, Alì e Selim si guardarono stupiti; ma il cadì impose loro di andarsene, poi che era molto occupato, ed essi ubbidirono. Si fecero prestare un cammello da un loro vicino ed ebbero, così, 18 cammelli da dividere (17+1= 18).

Quindi procedettero alla spartizione secondo il testamento lasciato dal padre loro, buon'anima: A Mohammed spettarono 1/2 di 18 cammelli, ossia 18:2= 9 cammelli; ad Alì spettarono 1/3 di 18 cammelli, ossia 18:3= 6 cammelli, a Selim spettarono 1/9 di 18 cammelli, ossia 18:9= 2 cammelli. Totale 9+6+2=17 cammelli. Dunque aveva proprio ragione il cadì! Ognuno dei tre fratelli aveva avuto la sua parte giusta con la rimanenza di  un cammello, ed essi lo restituirono al vicino che l'aveva prestato. Quella soluzione meravigliò moltissimo Mohammed, Alì e Selim, come continua a stupire tanta gente alla quale si racconta ancor oggi l'episodio curioso.Come va dunque questa faccenda? Ossia: come si può spiegare che il cammello preso in prestito potè far risolvere con tanta semplicità il problema e, inoltre come spiegare che il cammello potè essere restituito, senza  toglierlo a nessuno dei tre fratelli? Il cadì non fu giusto: fu furbo nel mettere d’accordo i tre fratelli. La spiegazione verrà data la prossima puntata.
mr.Hyde

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CURIOSITA' E GIOCHI PUNTATA 33^

UN GIOCO DI MATEMAGIA

Potrete chiamarlo un  esperimento di lettura del pensiero ma, in realtà, si tratta di un esercizio basato su principi di matematica o di "matemagia" se vogliamo usare questo termine.. Il “numero di predizione e  telepatia” consiste nel chiedere ad uno telepatia  di scegliere un numero che non sarà svelato a voi. Tuttavia  voi sarete già in grado di conoscere tale numero e addirittura mostrerete al pubblico di averlo già scritto su un bigliettino dentro  una busta  ben visibile da tutti  fin dall'inizio del gioco .

Immagine by Young Hyde

 Il numero riportato sul bigliettino sarà  quello giusto! Vediamo come si svolge questo esperimento. Inizialmente spiegherete al pubblico che cosa si tratta, mostrando una busta chiusa  che,  spiegherete  contiene la  vostra predizione. Scegliete un spettatore, chiedendogli di scrivere su un foglietto uno accanto all'altro, senza farveli vedere, tre numeri diversi da uno a nove (escluso lo zero). Queste  tre cifre formeranno un primo numero. Direte poi di scrivere accanto a questo numero un altro,  ottenuto invertendo le tre cifre del primo. Proseguendo,  gli chiedete di sottrarre il numero di tre cifre più piccolo da quello più grande e di sommare il risultato al numero ottenuto invertendo l'ordine delle sue cifre. Il gioco è alla sua fine: invitate  lo spettatore a leggere il totale a voce alta. A questo punto , voi stessi potrete invitare lo spettatore anche ad aprire la busta e leggere a voce alta il numero riportato sul bigliettino che sarà lo stesso di quello ottenuto dallo spettatore. Facciamo un esempio.Supponiamo  che i tre numeri scelti dallo spettatore siano  3, 5 e 7. Lo spettatore formerà un solo numero raggruppandoli  in questo modo: 357. Invertendo l'ordine delle cifre si ottiene 753...Lo spettatore sottrae il numero più piccolo da quello più grande: 753 - 357 = 396... E poi invertirà l'ordine deIle cifre del risultato, ottenendo 693..Alla fine dovrà aggiungere quest'ultimo numero al risultato precedente: 396+693= 1089.Ed è fatta Quindi il numero che scriverete sul bigliettino che verrà custodito dentro la busta chiusa, sarà sempre 1089. Attenzione, se, fatta la prima sottrazione, il numero che otterrete avrà solo due cifre, aggiungete uno zero all'inizio (99 diventerà così 099, che invertendo le cifre diventa 990). L’ equazione è del tipo xyz+zyx= 1089, dove xyz sono numeri positivi diversi da zero . il risultato è quindi  sempre lo stesso: a prescindere dalle cifre singole scelte inizialmente. 

mr.Hyde

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CURIOSITA' E INDOVINELLI 34^ PUNTATA

LE DIMENSIONI DEL GIGANTE  NEMBROTTE  DESCRITTE DA DANTE ALIGHIERI NEL SUO INFERNO.COME CALCOLARLE PARTENDO DAI VERSI DEL POETA.

" La faccia sua mi parea lunga e grossa come la pina di San Pietro a Roma, e a stia proporzione eran 'laltr'ossa. "
(inf., XXXI, 58-60). 

Dante, nel descrivere il gigante condannato all'Inferno, usa proprio la parola “proporzione”, così come in matematica. Cercheremo quindi di  impostare correttamente questa proporzione per determinarne l'altezza . La “pina di San Pietro”, a Roma, è una gigantesca pigna di bronzo tuttora visibile in Vaticano, nel cortile che appunto per essa si chiama Cortile della Pigna. Ai tempi di Dante questa pigna colossale era nell'atrio dell'antica basilica di San Pietro, dove Dante la vide rimanendone impressionato: allora essa era ancora più grande, giacchè ne venne più tardi mozzata un po' la punta. Ma calcoliamola a 4 metri, cioè quanto è alta adesso.

Illustrazione di Albrecht Dürer

Per “faccia”, Dante intendeva probabilmente significare la testa intera, poi che la paragona alla “pina” di S. Pietro. Dunque, sappiamo che il gigante Nembrotte misurava 4 metri dalla sommità del capo sino al mento. Leonardo da Vinci nei suoi canoni antropometrici, determina le dimensioni della testa (“dal di sotto del mento alla sommità del capo”),calcolandole come 1/8 della statura. Per cui la misura della testa, in un uomo di media statura, è di 22 centimetri, prendendo come statura media m. 1,76 di altezza. La chiesa di S.Pietro che noi ammiriamo oggi non esisteva al tempo di Dante, poi che la costruzione di essa fu iniziata il 18 aprile 1506. Nello stesso luogo sorgeva l'antica basilica, fatta costruire nel 324 da Papa Silvestro ed è quest’ultima che si riferisce Dante. Possediamo dunque 3 dati per risolvere il problema: “ Un uomo di media altezza, ossia della statura di m. 1,76, ha la testa alta 22 cm.; qual'era la statura di Nembrotte, se la sua testa misurava 4 metri? “.Ricapitolando, i termini noti sono: 1) la misura della testa in un uomo normale; 2) la statura di un uomo normale; 3) la misura della testa di Nembrotte. Il 4° termine, l’incognita del problema è la statura del gigante. 

La pigna di san Pietro

Il ragionamento va fatto così: Testa di uomo normale/Testa di Nembrotte= Altezza di uomo normale/ Altezza Nembrotte. I primi 3 termini li conosciamo, e possiamo perciò collocare al loro posto le cifre corrispondenti, riducendo tutte le misure in centimetri. La proporzione cui si riferisce Dante è la seguente: 22:400 = 176 : x

L'incognita x è la statura di Nembrotte, che siamo tanto ansiosi di conoscere. Risolvendo rispetto alla x avremo:

x= (176*400)/22= 70.400/22= 3200 cm

Abbiamo calcolato tutto in centimetri: Nembrotte dunque era alto 3.200 cm, cioè 32 metri. Risolto così il problema infernale e riconosciuto che Nembrotte aveva davvero una bella statura, possiamo abbandonare l’Inferno per uscire a riveder le stelle...

mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI 33^ PUNTATA

LA NUMEROLOGIA E  GLI STRANI CASI DEL DOTTOR MATRIX (parte2^)

Continua il racconto di Martin Gardner del suo incontro  con il dott.Matrix, famoso numerologista, iniziato la scorsa 32^ puntata 

 - Perché l'evoluzione è la chiave delle filosofie sia di John Dewey che di Henry Bergson? Perché entrambi nacquero nel 1859, l'anno in cui fu pubblicata l'opera di Darwin  l'Origine della Specie.- Mi asciugai la fronte col fazzoletto.  -  Non ha qualche idea sui 666 -, chiesi, - il cosiddetto numero della Bestia (Apocalisse 13, 18)? Di recente mi è capitato un libro intitolato  Our Times and Their Meaning, di un avventista del Settimo Giorno di nome Carlyle B. Haynes. Egli ha identificato il nome con la Chiesa Cattolica Romana sommando tutti i numerali romani in uno dei titoli latini del Papa: VICARIUS FILII DEI. Ne vien fuori esattamente 666 (V=500, 1=1, C=100, 1=1, U=5, 1=1, L=50, 1=1, 1=1, D=500, I=1.  U viene preso come V perché si usava scriverlo in questo modo).

Immagine da archivio Hyde

- Potrei parlarvi per ore del 666- disse il dottore con un profondo sospiro. -Questa particolare applicazione del numero della Bestia è molto antica. Naturalmente è facile per un abile numerologista trovare il 666 in qualsiasi nome. In effetti, se sommate i numerali latini nel nome ELLEN GOULD WHITE, la ispirata profetessa che fondò l' Avventismo del Settimo Giorno, contando W come un doppio U o due V, si ottiene anche in questo caso 666 (L=50, L=50, U=5, L=50, D=500, W=10, 1= 1). In Guerra e Pace di Tolstoj (Vol. III, parte 1, Cap. 19) c'è un metodo semplice e lineare per ottenere 666 da I'EMPEREUR NAPOLEON. Quando il primo ministro d'Inghilterra era William Gladstone, un nemico politico scrisse GLADSTONE in greco, sommò i numerali greci nel nome ed ottenne 666. HITLER dà esattamente questo numero se usiamo un codice comunissimo dando ad A il valore 100, a B 101, a C 102 ecc. -.  - Penso che fosse il matematico Eric Temple Bell-, dissi, - a scoprire che 666 è la somma degli interi da 1 a 36, i numeri della roulette -. - Vero -, disse il Dr. Matrix. - E se ordinate da destra a sinistra i primi sei numeri romani, in ordine di successione, ottenete questo – ( Scrisse DCLXVI ,ovvero 666, sulla lavagna). - Ma cosa significa tutto ciò? - chiesi. Il Dr. Matrix rimase in silenzio per un momento. -Il vero significato è noto solo a pochi iniziati -, disse senza sorridere. - Temo di non poterglielo rivelare ora -. La musica d'organo continuava a riempire la stanza. - Non è una incisione di musica di Bach, questa? - chiesi. - Certo -, rispose il dottore accompagnandomi alla porta. - Bach era un profondo studioso della nostra scienza. Ha letto Joy of Music di Leonard Bernstein? Vi è un interessante paragrafo sulle ricerche numerologiche di Bach. Egli sapeva che la somma dei valori di BACH - prendendo A come 1, B come 2, e così via - è 14, multiplo del divino 7. Sapeva ancora che la somma del suo nome completo, usando un vecchio alfabeto tedesco, è 41, inverso di 14, che è anche il 14° numero primo quando considerate anche 1 come tale. Il pezzo che Lei ascolta è Vor deinen Thron tret'ich allhier, un inno in cui la musica sfrutta questo motivo 14-41. La prima frase ha 14 note, la intera melodia ne ha 41. Magnifica armonia, vero? Se i nostri moderni compositori volessero solo imparare un po' di numerologia, potrebbero avvicinarsi altrettanto alla musica delle alte sfere! -. Lasciai l'ufficio leggermente intontito.
mr. Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI 32^ PUNTATA

LA NUMEROLOGIA E  GLI STRANI CASI DEL DOTTOR MATRIX (parte 1^)

La numerologia, che studia il significato mistico dei numeri, ha una lunga e complicata storia che include gli antichi cabalisti Ebrei, i Pitagorici Greci, Filone di Alessandria, gli Gnostici, molti illustri teologi. Il matematico che giudicava “noiosa” questa disciplina, ebbe invece ricredersi dopo l’incontro che gli avrebbe dato modo di conoscere il dottor Matrix , famoso numerologista di New York. - Pretende di essere una reincarnazione di Pitagora e sembra che effettivamente di matematica ne sappia- raccontò il suo amico che ebbe l’incarico di combinare un incontro, presso lo stuido dell’esperto. Gardner racconta- Telefonai per un appuntamento e diversi giorni dopo una graziosa segretaria con neri occhi a mandorla mi introdusse nei recessi del santuario del dottore. Dieci grandi cifre numeriche dall'l al 10, luccicanti come oro, erano appese al muro in fondo dietro un grande tavolo, disposte secondo uno schema triangolare reso noto oggi dalla disposizione dei birilli del bowling, ma che gli antichi pitagorici consideravano con rispetto come " santa tetrade ". 

Immagine by Hyde

Un grande dodecaedro sul tavolo portava su ognuna delle sue dodici facce un calendario per ogni mese del nuovo anno. Musica d'organo smorzata veniva da un altoparlante nascosto.

Il Dr. Matrix entrò nella stanza da una porta laterale coperta da una tenda; aveva un'alta figura ossuta, con un naso prominente e un vivido sguardo penetrante. Mi fece segno di sedere.

- So che lei è un matematico e che si trova qui per investigare sui miei metodi piuttosto che per una analisi della persona-. So anche che considera “coincidenze”, quelle corrispondenze che le elencherò e che travalicano la teoria delle probabilità. I numeri, sappia,hanno una vita misteriosa-.

Agitò una mano in direzione dei numeri dorati sul muro. - Naturalmente quelli non sono i numeri. Sono solo simboli di numeri. Non fu il grande matematico tedesco Leopold Kronecker che disse: " Dio creò i numeri interi; tutto il resto è opera dell'uomo?” - Non sono sicuro di esser d'accordo con questa idea -, dissi, - ma non perdiamo tempo con la metafisica -. Giustissimo -, replicò, sedendosi dietro il tavolo, - mi lasci citare alcuni esempi di analisi numerologica che la possono interessare.Consideri il caso di Richard Wagner e del numero 13. Il suo nome è di tredici lettere. Nacque nel 1813. Faccia la somma delle cifre di questo anno e la somma è 13. Ha composto 13 grandi opere musicali. Il Tannhauser il suo capolavoro, fu completato il 13 aprile 1845 ed eseguito per la prima volta il 13 marzo 1861. Terminò il Parsifal il 13 gennaio 1882. La Valchiria fu eseguita la prima volta il 26 giugno 1870 e 26 è il doppio di 13. Il Lohengrin fu composto nel 1848, ma Wagner non lo sentì eseguito sino al 1861, esattamente 13 anni dopo. Morì il 13 febbraio 1883. Notare che la prima e l'ultima cifra di quest'anno formano 13. Questi sono solo alcuni dei molti importanti 13 nella vita del celebre musicista. Il Dr. Matrix aspettò che finissi di scrivere: poi continuò. - Le date importanti non sono mai accidentali. L'era atomica cominciò nel 1942, quando Enrico Fermi ed i suoi colleghi ottennero la prima reazione nucleare a catena. Avrà letto nella biografia di suo marito, scritta da Laura Fermi, come Arthur Compton telefonò a Jarnes Conant per dargli la notizia. La prima osservazione di Compton fu: "Il navigatore Italiano, ha raggiunto il Nuovo Mondo ". Le è mai venuto in mente che se inverte le cifre centrali di 1942, questo diventa 1492, l'anno in cui Colombo scoprì il Nuovo Mondo? ».

- Mai - risposi.

- La vita del Kaiser Guglielmo I è numerologicamente interessante », continuò. - Nel 1849 egli soppresse la rivoluzione socialista in Germania. La somma delle cifre di questa data è 22. Sommi 22 a 1849 e otterrà 1871, l'anno in cui Guglielmo fu incoronato imperatore. Ripeta il procedimento con 1871 ed arriverà a 1888, anno della sua morte. Ripetendo ancora una volta si ottiene 1913, ultimo anno di pace prima che la prima guerra mondiale distruggesse il suo impero.

« Insolite combinazioni di date sono comuni nelle vite di tutti gli uomini famosi. È coincidenza che Raffaello, grande pittore di scene sacre sia nato il 6 aprile e morto il 6 aprile e che entrambe le date cadessero di Venerdì Santo? [continua]

Mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI 31^ PUNTATA

SOLUZIONE DEL  QUESITO SULL'OTTO SOLITARIO; NUOVO GIOCO DI RITAGLIO.

1) Soluzione del quesito sull'otto solitario proposto nella 30^ puntata . Nella divisione completa, quando si abbassano due cifre invece di una, vuoi dire che nel quoziente vi è uno zero. Ciò avviene due volte, sicché sappiamo subito che il quoziente ha la forma x080x. Quando il divisore è moltiplicato per l'ultima cifra dei quoziente il prodotto è un numero di quattro cifre. Perciò l'ultima cifra del quoziente deve essere un 9, perché il divisore per 8 ha dato un numero di tre cifre.

Il divisore deve essere inferiore a 125 perché otto volte 125 darebbe 1000, un numero di quattro cifre. Ora possiamo dedurre che la prima cifra del quoziente deve esser maggiore di 7, perché il prodotto di un divisore inferiore a 125 per sette darebbe luogo ad un resto superiore a due cifre nella sottrazione dalle prime quattro cifre del dividendo. Questa prima cifra non può esser nove (che darebbe un numero di quattro cifre nella moltiplicazione per il divisore), perciò deve essere 8, dando il quoziente completo 80809.

Il divisore deve esser maggiore di 123 perché 80809 per 123 è un numero di sette cifre ed il nostro dividendo ha otto cifre. Il solo numero fra 123 e 125 è 124. Possiamo ora ricostruire l'intero problema così:

Fig.2

Fig. 1

10020316 / 124

     992    80809

                1003

                 992

               1116

               1116

                    0

2) L'intero problema e il paradiso: trucco di ritaglio con un foglio di carta A4.

Un vecchio trucco di ritaglio, di origine ignota, è illustrato in fig.2. Esso viene di solito presentato insieme ad un aneddoto riguardante due persone: una buona e una cattiva. Entrambe due persone e si avvicinano alle porte del Paradiso. La cattiva, naturalmente, non ha il foglio di carta con l'autori zzazione necessario per la sua ammissione. Cerca l'aiuto della buona, che sta proprio dietro di lei. La buona piega il suo foglietto come mostrato in a, b, c, d, e (fig. 2) e lo taglia, secondo la linea tratteggiata indicata. Trattiene la parte di destra e dà il resto alla cattiva. San Pietro apre i pezzi della cattiva, li sistema in modo da formare la parola HELL (inferno) come mostrato in alto  (della fig. 1-A) e la manda via. Quando San Pietro apre il foglietto presenta tu dalla buona, vi trova la forma della croce come mostrato in basso nella fig. 1-B

Mr.Hyde

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CURIOSI GICHI E INDOVINELLI 30^ PUNTATA

SOLUZIONE DEL GIOCO DI LOGICA SU PROBABILITA' E AMBIGUITA', I  TRE PRIGIONIERI E IL GUARDIANO E NUOVO QUESITO SULL'OTTO SOLITARIO.

1) Soluzione del gioco "I Tre Prigionieri e il guardiano pubblicato nella  29^ puntata

La risposta al problema dei tre prigionieri è che le probabilità di A di esser graziato sono 113 e quelle di C sono 2/3. Il guardiano può dare ad A il nome di un uomo, diverso da A, che dovrà morire a prescindere da chi viene graziato. L'enunciato del guardiano perciò non ha influenza sulle probabilità di sopravvivenza di A; esse continuano ad esser 1/3.La situazione è analoga a quella del seguente gioco di carte.

Immagine archivio U.Scifo

 Due carte nere (che rappresentano la morte) ed una rossa (la grazia) vengono mescolate e distribuite a tre persone: A, B e C (i prigionieri). Se una quarta persona (il guardiano) dà una occhiata a tutte e tre le carte e poi rigira una carta nera appartenente a B o a qual'è la probabilità che la carta di A sia rossa? Si è tentati di supporre che sia 1/2 perché solo due carte rimangono coperte, delle quali una è rossa. Ma dato che una carta nera può sempre esser mostrata per B o C, lo scoprirla non fornisce alcuna informazione valida a far scommettere sul colore della carta di A.

2) Nuovo quesito sull'8 solitario

Gli editori di The American Mathematical Monthly, hanno reso noto di recente che il problema più popolare pubblicato sinora nella rivista, è questo, di P. L. Chessin della Westinghouse Electric Corporation, pubblicato nel numero dell'aprile 1954.

"Il nostro amico ed eminente numerologo, Professor Euclide Paracelso Bombasto Umbugio, è stato molto indaffarato a provare con il suo programma di calcolo le 81 x 10⁹  possibili soluzioni del problema di ricostruire la seguente divisione esatta in cui le cifre sono state indiscriminatamente sostituite con delle x salvo che nel quoziente in cui sono state quasi tutte omesse:

Sgonfiate il Professore! Cioè riducete le possibilità a  (81 x 10⁹ )^{0  ".}

Dato che qualsiasi numero elevato alla potenza zero è uno, il compito del lettore è scoprire la unica ricostruzione del problema. L'8 è nella giusta posizione sotto la riga, ossia è la terza cifra di un risultato di cinque cifre. Il problema è più facile di quanto sembri, e cede facilmente ad alcune considerazioni elementari.

Mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI: 29^ PUNTATA

 NUOVO GIOCO DI LOGICA SU PROBABILITA' E AMBIGUITA': I  TRE PRIGIONIERI E IL GUARDIANO.

I tre prigionieri e il guardiano

Un piccolo problema che crea una straordinaria confusione ed è anche più difficile da enunciare in forma priva di ambiguità è quello dei tre prigionieri e del guardiano. Tre uomini - A, B e C - sono chiusi in celle separate in attesa dell'esecuzione capitale, quando il governatore decide di graziarne uno. Scrive i loro nomi su tre pezzi di carta, li rimescola in un cappello, ne estrae uno e telefona al guardiano chiedendo che il nome del fortunato prigioniero rimanga segreto per diversi giorni. Voci di questo fatto pervengono al prigioniero A e quando il guardiano fa il suo giro mattutino. A tenta di persuaderlo a dirgli chi è stato graziato. Il guardiano rifiuta di rispondere.

Immagine by Hyde

- Allora mi dica - dice A - il nome di uno dei due che saranno giustiziati. Se è B mi dica il nome di C. Se è C il graziato, mi dica quello di B. E se sono io allora getti una moneta per decidere se dire B o C -.

- Ma se lei mi vede gettare la moneta -, risponde il guardiano, furbo, - sa che è stato graziato. E se vede che non la getto, sa che si tratta o di lei o della persona che non viene nominata -.

- Allora non me lo dica ora - dice A .- Me lo dica domani mattina -.

Il guardiano, che non sapeva nulla di teoria della probabilità, ci pensò sopra la notte e decise che se avesse seguito il procedimento suggerito da A, non gli avrebbe dato nessun aiuto nella valutazione delle sue possibilità di sopravvivenza. Sicché la mattina seguente disse ad A che sarebbe stato giustiziato B.

Partito il guardiano, A sorrise a se stesso della stupidità del guardiano. C'erano solo due elementi ugualmente probabili in quello che i matematici amano chiamare ‘lo spazio di campionatura’del problema: o C sarebbe stato graziato, o lui, di modo che per le leggi della probabilità condizionata, la probabilità di sopravvivenza era salita da 1/3 a 1/2.

Il guardiano non sapeva che A poteva comunicare con C, che si trovava in una cella adiacente, battendo in codice su una conduttura di acqua. Infatti A fece così, spiegando a C esattamente cosa egli aveva detto al guardiano e cosa il guardiano aveva detto a lui. C fu egualmente rallegrato dalle notizie perché calcolò, con lo stesso ragionamento usato da A, che anche le sue probabilità di sopravvivenza erano salite a 1/2.

I due ragionarono correttamente? Se non lo fecero, come avrebbe dovuto ognuno calcolare le sue probabilità di esser graziato?

Mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI: 28^ PUNTATA

SOLUZIONE  DEL QUESITO SUL PREZZO DEI PAPPAGALLINI E DEI CRICETI  NUOVO GIOCO DEL QUADRATO MAGICO CON NOVE CARTE E UN BICCHIERE

1) Soluzione del quesito del prezzo di pappagallini e criceti apparso nella puntata n° 27

Sia x il numero di criceti comprati inizialmente ed anche il numero di pappagallini. Sia y il numero di criceti fra le sette bestiole non vendute; il numero di pappagallini rimasti sarà allora 7-y. Il numero di criceti venduti (ad un prezzo di 2,20 dollari ciascuno, che è un ricavo del 10% sul Costo) sarà x—y ed il numero di pappagallini venduti (a 1,10 dollari ciascuno) sarà di x-7 +y.

Il costo dei cuccioli è perciò di 2x dollari per i criceti ed x dollari per i pappagallini - un totale di 3x dollari. I criceti venduti danno 2,2(x—y) dollari ed i pappagallini venduti danno 1,1(x-7+y) dollari, per un totale di 3,3x-1,1y-7,7 dollari. Come si è detto, i due totali sono uguali, perciò uguagliandoli e semplificando Si Ottiene la seguente equazione diofantina con due interi incogniti: 3x = 11y+77.

Dato che x ed y sono interi positivi ed y non è maggiore di 7, è semplice cosa provare ognuno degli otto possibili valori (zero incluso) di y per determinare quale di essi rende anche x intero. Vi sono solo due valori del genere: 5 e 2. Ognuno condurrebbe ad una soluzione del problema se non fosse per il fatto che i pappagallini sono stati comprati in coppie. Ciò elimina 2 come valore per y perché darebbe per x (numero dei pappagallini comprati) il valore dispari di 33. Concludiamo dunque che y è 5.

Ora si può trarne un quadro completo. Il negoziante ha comprato 44 criceti e 22 paia di pappagallini, pagando in tutto 132 dollari. Ha venduto 39 criceti e 21 coppie di pappagallini per un totale di 132 dollari. Sono rimasti cinque criceti del valore di 11 dollari alla vendita e due pappagallini del valore di vendita di 2,20 per un totale di 13,20 dollari, che è la risposta al problema. Facile, no?

2) Nuovo gioco del quadrato magico con nove carte e un bicchiere

Ecco come racconta Martin Gardner il suo incontro con Victor Eigen, famoso “matemagico”, ossia un matematico con abilità da prestigiatore. Sedemmo di fronte ai due lati del tavolo da cucina e brindammo. Victor non perdette tempo e prese un mazzo di carte dal taschino della camicia.

Sistemò nove carte, con valori dall'uno al nove, sul tavolo, formando il noto quadrato magico di tre per tre (fig. A). Le carte erano tutte cuori, salvo il cinque di picche al centro. Tirò fuori una busta dalla tasca e la posò davanti al quadrato.

immagine da archivio  by Hyde

-Desidero che tu metta il tuo bicchiere su una qualsiasi delle nove carte - disse, - ma lasciami spiegare che in questa busta c'è una scheda su cui ho segnato delle istruzioni. Le istruzioni sono basate sulle mie valutazioni circa la carta che stai per scegliere e su come muoverai a caso il bicchiere da carta a carta. Se le mie stime sono corrette, il tuo bicchiere andrà a finire sulla carta centrale-. Egli tamburellò col dito sul cinque di picche. - Ora posa il bicchiere su una qualsiasi carta, compresa quella centrale, se vuoi.

Posai il bicchiere sul due di cuori.

- Proprio come pensavo, - sorrise. Prese la scheda dalla busta e la tenne in modo che potessi leggere le seguenti istruzioni:

1. Togliere il sette.

2. Muovere sette volte e togliere l'otto.

3. Muovere quattro volte e togliere il due.

4. Muovere sei volte e togliere il quattro.

5. Muovere cinque volte e togliere il nove.

6. Muovere due volte e togliere il tre.

7. Muovere una volta e togliere il sei.

8. Muovere sette volte e togliere l'asso.

- Una ' mossa ', - spiegò, - consiste nel trasferire il bicchiere su una carta adiacente sopra, sotto o su uno dei lati, ma non in diagonale-. Io seguii le istruzioni accuratamente, facendo tutte le mosse il più a caso possibile. Con mia grande sorpresa il bicchiere non si fermò mai su una carta che dovevo togliere e dopo aver eliminato Otto carte ecco che il mio bicchiere era posato sul cinque di picche proprio come Victor aveva predetto!

- Mi hai completamente confuso-, ammisi. - Supponiamo che all'inizio avessi - Devo confessare, disse, - che c'entrano un po' di espedienti non matematici. La sistemazione in quadrato magico non ha nulla a che fare con il trucco. Solo la posizione delle carte ha importanza. Quelle in posizione dispari - i quattro angoli e il centro - formano un gruppo; quelle in posizione pari formano un gruppo di parità opposta. Quando ho visto che per prima mossa hai messo il bicchiere su una carta del gruppo dispari, ti ho mostrato queste istruzioni. Se avessi messo il bicchiere su una carta del gruppo avrei capovolto la busta prima di tirar fuori la scheda

Rigirò la scheda. Sul retro era una seconda serie di istruzioni:

1. Togliere il sei.

2. Muovere quattro volte e togliere il due.

3. Muovere sette volte e togliere l'asso.

4. Muovere tre volte e togliere il quattro.

5. Muovere una volta e togliere il sette.

6. Muovere due volte e togliere il nove.

7. 'Muovere cinque volte e togliere l'otto.

8. Muovere tre volte e togliere il tre.

- Vuoi dire che questa due serie di istruzioni - una da usare se si comincia su una carta di posizione pari e l'altra se si comincia su una dispari - porteranno sempre il bicchiere sul centro? – Esattamente- rispose.
Mr.Hyde

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CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI: 27^ PUNTATA

SOLUZIONI DEI  QUESITI SU: "QUANTO E' LUNGO UN LUNARE?" E SUL SECONDO DEGLI INDOVINELLI ARITMETICI  PROPOSTO NELLA 25^ PUNTATA,  NUOVO QUESITO SUL PREZZO DEI PAPPAGALLINI E DEI CRICETI.

1) Risposta al quesito "Quant'è lungo un lunare?" proposto nella 26^ puntata.

Il volume della sfera è 4p/ 3 volte il cubo del raggio. La sua superficie è 4p volte il quadrato del raggio. Se esprimiamo il raggio della luna in " lunari"  ed ammettiamo che la sua superficie in lunari quadrati sia uguale ai suo volume in lunari cubici, possiamo determinare la lunghezza del raggio semplicemente uguagliando le due formule e risolvendo per il valore del raggio. Sì cancella nei due membri e inviamo che il raggio è tre lunari. Siccome il raggio della luna è 1080 miglia, un lunare deve essere di 360 miglia.

Collage by mr.Hyde

2) Nuovo quesito: Il prezzo di pappagallini e criceti.

Il proprietario di un Pet Shop compra un certo numero di criceti ed un numero metà di questo di coppie di pappagallini, pagando 2 dollari per ogni criceto ed 1 dollaro per ogni pappagallino. Per ogni bestiola mette un prezzo di vendita superiore al 10% sul prezzo di acquisto.

Dopo aver venduto tutte le bestiole meno sette, il proprietario si accorge di aver ricavato una quantità di moneta esattamente eguale a quanto pagato originariamente. Il solo profitto potenziale, perciò, era rappresentato dal valore totale di vendita dei sette animali rimanenti. Quanto era? La soluzione alla prossima puntata

3) Soluzione del quesito 2B degli indovinelli aritmetici apparso nella 25^ puntata

B. Si risparmia tempo in questo problema notando, per intuizione, che se le nove cifre vengono disposte in una matrice di tre per tre in modo da formare una catena connessa da un movimento di torre da 1 a 9, le cifre dispari devono occupare le caselle al centro e ai quattro vertici. Ciò si vede facilmente colorando le nove caselle a scacchiera, con quella centrale nera. Dato che c'è una casella nera in più di quelle bianche, il percorso deve cominciare e terminare su caselle nere, mentre tutte le cifre pari devono cadere su caselle bianche.

Vi sono 24 modi diversi di sistemare le quattro cifre pari sulle caselle bianche. Otto di essi, in cui 2 è opposto a 4, possono essere eliminati immediatamente perché non permettono un percorso completo di cifre in ordine di successione. I rimanenti sedici schemi possono essere rapidamente controllati, tenendo presente che la somma delle due cifre superiori a sinistra deve essere inferiore a 10 e la somma delle due cifre superiori sulla destra deve essere maggiore di 10. La seconda asserzione vale perché le due cifre superiori nel centro sono pari e dispari, tuttavia la loro somma è una cifra pari. Ciò può avvenire solo se c'è un riporto di 1 dalla somma della colonna di destra. Il solo modo per formare il percorso in modo che la riga inferiore del quadrato sia la somma della prima e della seconda riga è mostrato in fig. 2.

fig.2

E’ stata proposta in seguito una soluzione più semplificata basata su un sistema più veloce,  ed è la seguente:

Vi sono solo tre percorsi di torre sostanzialmente differenti (trascurando le rotazioni e le riflessioni) sulla scacchiera: quello mostrato nella soluzione, un percorso a spirale da vertice a centro ed un percorso ad 'S'  da vertice a vertice opposto in diagonale. Su ciascun percorso le cifre possono correre in ordine in due direzioni opposte, formando sei diversi andamenti. Considerando le varie rotazioni e riflessioni di ciascuno, si arriva rapidamente alla risposta unica. 

Mr. Hyde

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