29/03/15

Risoluzione del Cubo Elettronico e Quesito dell'Icosaedro e la Mosca 41^ Puntata

DEDICATA ANCORA AI SOLIDI PLATONICI QUESTA PUNTATA DI CURIOSITA’ E GIOCHI MATEMATICI. DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA  DEL CUBO ELETTRICO TENENDO CONTO DELLE  PROPRIETA’ GEOMETRICHE DI QUESTO SOLIDO E AL CURIOSO QUESITO DELLA MOSCA E  L’ICOSAEDRO.

1) Soluzione al quesito apparso nella puntata n° 40 riguardo a l'indovinello sulla rete elettrica tracciata sugli spigoli di un cubo (fig. 1, nel post precedente). Si trattava di determinare  la resistenza dell'intera struttura quando la corrente la percorreva  secondo  la direzione indicata A-B. La resistenza totale della rete elettrica cubica è di 5/6 di ohm. Se si mettono in cortocircuito comune(*) i tre vertici più vicini ad A e lo stesso si fa con quelli prossimi a B, nei due triangoli costituenti il cortocircuito non scorrerà corrente perché essi collegano punti equipotenziali.  È facile ora vedere che vi sono tre resistenze da un ohm in parallelo fra A ed il triangolo vicino (resistenza 1/3 ohm), sei in parallelo fra i due triangoli (1/6 di ohm) e tre in parallelo fra il secondo triangolo e B (1/3 di ohm), con una resistenza totale di 5/6. Il problema ed il metodo risolutivo possono essere estesi a reti aventi la forma degli altri quattro solidi platonici. La soluzione del problema risale già al 1920, contenuta nel volume Magnetism and Electricity di E. E. Brooks e A. W. Poyser.
(*)Due punti di un circuito sono collegati in corto circuito quando hanno resistenza nulla, nulla tensione e la corrente che li percorre ha valore elevato.
fig.1 - Proiezione piana dell'icosaedro
2) Nuovo quesito sulla mosca che passeggia sugli spigoli sull’icosaedro. Abbiamo già parlato dell’icosaedro nelle puntate precedenti , precisando che è un solido platonico,  che le sue facce sono rappresentate da triangoli  equilateri e che contiene 12 spigoli. Se una mosca dovesse percorrere  questi  12 spigoli, passando una sola volta per ogni spigolo, qual' è la più breve distanza che essa potrebbe percorrere?  Non è necessario che la mosca ritorni al punto di partenza, nel qual caso dovrebbe necessariamente passare due volte per qualche spigolo. (Solo gli spigoli dell'ottaedro possono essere percorsi senza ripassarvi). Una proiezione piana di questo solido (fig. 1) può essere usata per risolvere il problema, ma bisogna ricordare che ogni spigolo ha una lunghezza unitaria. (La soluzione verrà data la puntata prossima)

Mr.Hyde

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