CURIOSI GIOCHI E INDOVINELLI: 28^ PUNTATA

SOLUZIONE  DEL QUESITO SUL PREZZO DEI PAPPAGALLINI E DEI CRICETI  NUOVO GIOCO DEL QUADRATO MAGICO CON NOVE CARTE E UN BICCHIERE

1) Soluzione del quesito del prezzo di pappagallini e criceti apparso nella puntata n° 27

Sia x il numero di criceti comprati inizialmente ed anche il numero di pappagallini. Sia y il numero di criceti fra le sette bestiole non vendute; il numero di pappagallini rimasti sarà allora 7-y. Il numero di criceti venduti (ad un prezzo di 2,20 dollari ciascuno, che è un ricavo del 10% sul Costo) sarà x—y ed il numero di pappagallini venduti (a 1,10 dollari ciascuno) sarà di x-7 +y.

Il costo dei cuccioli è perciò di 2x dollari per i criceti ed x dollari per i pappagallini - un totale di 3x dollari. I criceti venduti danno 2,2(x—y) dollari ed i pappagallini venduti danno 1,1(x-7+y) dollari, per un totale di 3,3x-1,1y-7,7 dollari. Come si è detto, i due totali sono uguali, perciò uguagliandoli e semplificando Si Ottiene la seguente equazione diofantina con due interi incogniti: 3x = 11y+77.

Dato che x ed y sono interi positivi ed y non è maggiore di 7, è semplice cosa provare ognuno degli otto possibili valori (zero incluso) di y per determinare quale di essi rende anche x intero. Vi sono solo due valori del genere: 5 e 2. Ognuno condurrebbe ad una soluzione del problema se non fosse per il fatto che i pappagallini sono stati comprati in coppie. Ciò elimina 2 come valore per y perché darebbe per x (numero dei pappagallini comprati) il valore dispari di 33. Concludiamo dunque che y è 5.

Ora si può trarne un quadro completo. Il negoziante ha comprato 44 criceti e 22 paia di pappagallini, pagando in tutto 132 dollari. Ha venduto 39 criceti e 21 coppie di pappagallini per un totale di 132 dollari. Sono rimasti cinque criceti del valore di 11 dollari alla vendita e due pappagallini del valore di vendita di 2,20 per un totale di 13,20 dollari, che è la risposta al problema. Facile, no?

2) Nuovo gioco del quadrato magico con nove carte e un bicchiere

Ecco come racconta Martin Gardner il suo incontro con Victor Eigen, famoso “matemagico”, ossia un matematico con abilità da prestigiatore. Sedemmo di fronte ai due lati del tavolo da cucina e brindammo. Victor non perdette tempo e prese un mazzo di carte dal taschino della camicia.

Sistemò nove carte, con valori dall'uno al nove, sul tavolo, formando il noto quadrato magico di tre per tre (fig. A). Le carte erano tutte cuori, salvo il cinque di picche al centro. Tirò fuori una busta dalla tasca e la posò davanti al quadrato.

immagine da archivio  by Hyde

-Desidero che tu metta il tuo bicchiere su una qualsiasi delle nove carte - disse, - ma lasciami spiegare che in questa busta c'è una scheda su cui ho segnato delle istruzioni. Le istruzioni sono basate sulle mie valutazioni circa la carta che stai per scegliere e su come muoverai a caso il bicchiere da carta a carta. Se le mie stime sono corrette, il tuo bicchiere andrà a finire sulla carta centrale-. Egli tamburellò col dito sul cinque di picche. - Ora posa il bicchiere su una qualsiasi carta, compresa quella centrale, se vuoi.

Posai il bicchiere sul due di cuori.

- Proprio come pensavo, - sorrise. Prese la scheda dalla busta e la tenne in modo che potessi leggere le seguenti istruzioni:

1. Togliere il sette.

2. Muovere sette volte e togliere l'otto.

3. Muovere quattro volte e togliere il due.

4. Muovere sei volte e togliere il quattro.

5. Muovere cinque volte e togliere il nove.

6. Muovere due volte e togliere il tre.

7. Muovere una volta e togliere il sei.

8. Muovere sette volte e togliere l'asso.

- Una ' mossa ', - spiegò, - consiste nel trasferire il bicchiere su una carta adiacente sopra, sotto o su uno dei lati, ma non in diagonale-. Io seguii le istruzioni accuratamente, facendo tutte le mosse il più a caso possibile. Con mia grande sorpresa il bicchiere non si fermò mai su una carta che dovevo togliere e dopo aver eliminato Otto carte ecco che il mio bicchiere era posato sul cinque di picche proprio come Victor aveva predetto!

- Mi hai completamente confuso-, ammisi. - Supponiamo che all'inizio avessi - Devo confessare, disse, - che c'entrano un po' di espedienti non matematici. La sistemazione in quadrato magico non ha nulla a che fare con il trucco. Solo la posizione delle carte ha importanza. Quelle in posizione dispari - i quattro angoli e il centro - formano un gruppo; quelle in posizione pari formano un gruppo di parità opposta. Quando ho visto che per prima mossa hai messo il bicchiere su una carta del gruppo dispari, ti ho mostrato queste istruzioni. Se avessi messo il bicchiere su una carta del gruppo avrei capovolto la busta prima di tirar fuori la scheda

Rigirò la scheda. Sul retro era una seconda serie di istruzioni:

1. Togliere il sei.

2. Muovere quattro volte e togliere il due.

3. Muovere sette volte e togliere l'asso.

4. Muovere tre volte e togliere il quattro.

5. Muovere una volta e togliere il sette.

6. Muovere due volte e togliere il nove.

7. 'Muovere cinque volte e togliere l'otto.

8. Muovere tre volte e togliere il tre.

- Vuoi dire che questa due serie di istruzioni - una da usare se si comincia su una carta di posizione pari e l'altra se si comincia su una dispari - porteranno sempre il bicchiere sul centro? – Esattamente- rispose.
Mr.Hyde