DEDICATA ANCORA AI SOLIDI PLATONICI QUESTA PUNTATA DI
CURIOSITA’ E GIOCHI MATEMATICI. DETERMINAZIONE DELLA RESISTENZA DEL CUBO ELETTRICO TENENDO
CONTO DELLE PROPRIETA’ GEOMETRICHE DI QUESTO SOLIDO E AL CURIOSO QUESITO DELLA
MOSCA E L’ICOSAEDRO.
1) Soluzione al
quesito apparso nella puntata n° 40 riguardo a l'indovinello sulla
rete elettrica tracciata sugli spigoli di un cubo (fig. 1, nel post
precedente). Si trattava di determinare la resistenza dell'intera struttura quando la
corrente la percorreva secondo la direzione indicata A-B. La resistenza
totale della rete elettrica cubica è di 5/6 di ohm. Se si mettono in
cortocircuito comune(*) i tre vertici più vicini ad A e lo stesso si fa con
quelli prossimi a B, nei due triangoli costituenti il cortocircuito non
scorrerà corrente perché essi collegano punti equipotenziali. È facile ora vedere che vi sono tre resistenze
da un ohm in parallelo fra A ed il triangolo vicino (resistenza 1/3 ohm), sei
in parallelo fra i due triangoli (1/6 di ohm) e tre in parallelo fra il secondo
triangolo e B (1/3 di ohm), con una resistenza totale di 5/6. Il problema ed il
metodo risolutivo possono essere estesi a reti aventi la forma degli altri
quattro solidi platonici. La soluzione del problema risale già al 1920, contenuta
nel volume Magnetism and Electricity di E. E. Brooks e A. W. Poyser.
(*)Due punti di un circuito sono collegati in corto circuito
quando hanno resistenza nulla, nulla tensione e la corrente che li percorre ha
valore elevato.
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| fig.1 - Proiezione piana dell'icosaedro |
2) Nuovo quesito sulla mosca che passeggia sugli spigoli sull’icosaedro. Abbiamo già parlato dell’icosaedro nelle puntate precedenti , precisando che è un solido platonico, che le sue facce sono rappresentate da triangoli equilateri e che contiene 12 spigoli. Se una mosca dovesse percorrere questi 12 spigoli, passando una sola volta per ogni spigolo, qual' è la più breve distanza che essa potrebbe percorrere? Non è necessario che la mosca ritorni al punto di partenza, nel qual caso dovrebbe necessariamente passare due volte per qualche spigolo. (Solo gli spigoli dell'ottaedro possono essere percorsi senza ripassarvi). Una proiezione piana di questo solido (fig. 1) può essere usata per risolvere il problema, ma bisogna ricordare che ogni spigolo ha una lunghezza unitaria. (La soluzione verrà data la puntata prossima)
Mr.Hyde
