LE COMPOSIZIONI DI ESCHER ISPIRATE AI GRUPPI DI SIMMETRIA 2^ E ULTIMA PARTE
I disegni di Escher
di questo tipo sono basasti sul principio studiato dal matematico S.M.Coxeter che
riguarda l'arte di riempire un piano con uno schema ripetuto. Tutti i mosaici,
che coprono il piano con schemi ripetuti, appartengono ad un gruppo di
diciassette differenti gruppi di simmetria che esauriscono tutti i modi
fondamentalmente diversi in cui gli schemi possono esser ripetuti all'infinito
in due dimensioni. Gli elementi di questi gruppi sono semplicemente operazioni
eseguite su uno schema fondamentale: scorrimento sul piano, rotazione o
inversione speculare. Mentre Coxter studia le possibilità di copertura usando
delle forme geometriche, in paticolare poligoni regolari, trovando poi della
applicazioni in cristallografia, Escher usa delle figure irregolari.
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| Fig.a - Composizione di Escher |
A questo punto le limitazioni imposte dalla geometria vengono meno a favore di una maggiore possibilità di combinazioni, trattandosi di schemi del tipo astratto. Coxeter elogia le ingegnose maniere con cui l'artista danese Maurits C. Escher, ha applicato molti dei diciassette gruppi di simmetria a mosaici in cui sono usate per le zone fondamentali delle forme animali. Uno degli stupefacenti di questi mosaici di riprodotto nel libro di Coxeter, è il cavaliere a cavallo mostrato nella puntata scorsa altro è riprodotto nella figura a. A primo sguardo, fa rilevare Coxeter,
il motivo del cavaliere appare essere il risultato di una traslazione della
forma base lungo gli assi orizzontali e verticali; ma ad un esame più accurato
si vede che la forma base fa anche da sfondo. In effetti, il più interessante
gruppo di simmetria per questo schema è generato da quella che viene detta
riflessione con scorrimento: ossia uno scorrimento della forma con un'inversione
speculare. A rigore, questo non sarebbe un mosaico perché la regione fondamentale
non è un poligono. Lo schema appartiene ad una curiosa classe di mosaici in cui
delle forme irregolari, tutte esattamente eguali, si connettono assieme
coprendo il piano come pezzi di un gioco a incastro. Forme astratte di questo
tipo non sono difficili da ideare, ma quando debbono rassomigliare a oggetti
naturali, non è tanto facile ottenerle.
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| Otto mosaici semiregolari |
Un piacevole passatempo è ritagliare un
gran numero di poligoni di cartone delle dimensioni e forme richieste,
dipingerli di vari colori e sistemarli in questi tipi di mosaici. Se si toglie
la limitazione circa i vertici, gli stessi poligoni formeranno un'infinita
varietà di mosaici. (Alcuni rilevanti esempi di questi mosaici non regolari ma
simmetrici sono riprodotti in Mathematical Snapshots di Hugo Steinhaus,
ristampato dalla Oxford University Press.
Mr. Hyde
